Question

在一次数学考试中，有两道选做题（A）和（B）．规定每位考生必须且只须在其中选做一题．设4名考生选做这两题的可能性均为

1

2

．
（Ⅰ）其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
（Ⅱ）设这4名考生中选做（B）题的学生数为ξ个，求的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）利用相互独立事件的概率公式，即可求出甲、乙2名学生选做同一道题的概率；
（Ⅱ）确定ξ的取值，求出相应的概率，即可求出ξ的分布列及数学期望．

解答：解：（Ⅰ）设事件A表示“甲选做（A）题”，事件B表示“乙选做（A）题”，则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB+

.

A

.

B

”，且事件A、B相互独立…..（2分）
∴P(AB+

.

A

.

B

)=P(A)P(B)+P(

.

A

)P(

.

B

)…..（4分）
=

1

2

×

1

2

+(1-

1

2

)×(1-

1

2

)=

1

2

…（6分）
（Ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4．且ξ～B(4，

1

2

)．
∴P(ξ=k)=

C

k 4

(

1

2

)k(1-

1

2

)4-k=

C

k 4

( 1 2 )4

(k=0，1，2，3，4)…．（8分）
所以变量ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 16	1 4	3 8	1 4	1 16

…．（10分）
Eξ=0×

1

16

+1×

1

4

+2×

3

8

+3×

1

4

+4×

1

16

=2或Eξ=np=4×

1

2

=2…..（12分）

点评：本题考查概率知识的运用，考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的计算能力，属于中档题．