Question

7．在锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的三边，设向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosA，-sinA），且$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
（1）求角A的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，设内角B为x，△ABC的周长为y，求y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题知：|$\overrightarrow{m}$|=|$\overrightarrow{n}$|=1，cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=cos²A-sin²A，由此能求出A．
（2）由正弦定理，得b=2sinx，c=2sin（120°-x），（x＜120°），从而y=$\sqrt{3}+2sinx+2sin（120°-x），x＜120°$，利用导数性质能求出y=f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosA，-sinA），
∴由题知：|$\overrightarrow{m}$|=|$\overrightarrow{n}$|=1，
∵$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{2π}{3}$，
∴cos$\frac{2π}{3}$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=cos²A-sin²A，即cos2A=-$\frac{1}{2}$，
又∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜2A＜π，
∴2A=$\frac{2π}{3}$，故A=$\frac{π}{3}$．
（2）由正弦定理，得$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=2，
b=2sinx，c=2sin（120°-x），（x＜120°），
∴y=$\sqrt{3}+2sinx+2sin（120°-x），x＜120°$
y′=2cosx-2cos（120°-x），
令y′=2cosx-2cos（120°-x）=0，得x=60°，
∴x=60°时，y=f（x）取最大值y_max=$\sqrt{3}+2sin60°+2sin60°$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查角的大小的求法，考查三角形周长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．