Question

在数列{a_n}中，a₁=-

1

2

，2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），设b_n=a_n+n．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由于2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+n．可得

bn+1

bn

=

an+1+n+1

an+n

=

1 2 (an-n-2)+n+1

an+n

=

1

2

，即可证明；
（2）由（1）可得bn=(

1

2

)n．nb_n=n•(

1

2

)n．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： （1）证明：∵2a_n=a_n-1-n-1（n≥2，n∈N^*），b_n=a_n+n．
∴

bn+1

bn

=

an+1+n+1

an+n

=

1 2 (an-n-2)+n+1

an+n

=

1

2

an+n

an+n

=

1

2

，
b₁=a₁+1=

1

2

．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为

1

2

，公比为

1

2

；
（2）由（1）可得bn=(

1

2

)n．
∴nb_n=n•(

1

2

)n．
∴数列{nb_n}的前n项和T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，

1

2

Tn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+…+(n-1)×(

1

2

)n+n×(

1

2

)n+1，
∴

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1，
∴T_n=1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n=2-

2+n

2n

．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．