Question

已知sinβ=2sin（2α+β）．
（Ⅰ）若α=

π

4

，求tanβ的值；
（Ⅱ）若α+β=

π

3

，求tanα的值．

Answer 1

分析：（I）将α=

π

4

代入，利用诱导公式得sinβ=2cosβ，再由同角三角函数基本关系即可算出tanβ的值；
（II）配角：β=（α+β）-α，2α+β=（α+β）+α．代入题中等式并结合α+β=

π

3

展开，化简得

3

2

cosα=-

3

2

sinα，利用同角三角函数基本关系即可算出tanα的值．

解答：解：（Ⅰ）∵α=

π

4

，得sin（2α+β）=sin（

π

2

+β）
∴由sin（

π

2

+β）=cosβ，可得sinβ=2cosβ．
两边都除以cosβ，得tanβ=2．
（Ⅱ）∵sinβ=sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，
∴将α+β=

π

3

代入，得sin(

π

3

-α)=2sin(

π

3

+α)，
展开，得sin

π

3

cosα-cos

π

3

sinα=2(sin

π

3

cosα+cos

π

3

sinα)
化简得sin

π

3

cosα=-3cos

π

3

sinα，即

3

2

cosα=-

3

2

sinα，
两边都除以cosα，得tanα=-

3

3

．

点评：本题给出关于正弦的三角函数等式，求α、β的正切值．着重考查了两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系等知识，属于中档题．运用题中的已知角配方表示未知角，使问题得到解决，是本题的主要思路．