Question

11．已知曲线C的普通方程为2x²-y²=4，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$．
（1）将直线l的参数方程化为普通方程；
（2）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|

Answer 1

分析 （1）直接把直线参数方程中的参数t消去可得直线的普通方程；
（2）把$x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t，y=\frac{\sqrt{2}}{2}t$ 代入2x²-y²=4，化为关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义求得|AB|．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，消去参数t，可得y=x-1，
∴直线l的普通方程为y=x-1；
（2）把$x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t，y=\frac{\sqrt{2}}{2}t$ 代入2x²-y²=4，
可得$2（1+\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}t）^{2}-4=0$，整理得：${t}^{2}+4\sqrt{2}t-4=0$．
${t}_{1}+{t}_{2}=-4\sqrt{2}，{t}_{1}{t}_{2}=-4$，
∴|AB|=$|{t}_{1}-{t}_{2}|=\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-4\sqrt{2}）^{2}+16}=4\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查了直线参数方程中参数的几何意义，是中档题．