Question

【题目】设复平面上点Z1 ， Z2 ， …，Zn ， …分别对应复数z1 ， z2 ， …，zn ， …；
（1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zn=rn（cosnα+isinnα），n∈Z+
（2）已知 ，且 （cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{zn}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，求 |+…．

Answer 1

【答案】
（1）证明：当n=1时，左边=r（cosθ+isinθ），右边=r（cosθ+isinθ），

左边=右边，即n=1等式成立；

假设当n=k时等式成立，即：[r（cosθ+isinθ）]k=rk（coskθ+isinkθ），

则当n=k+1时，[r（cosθ+isinθ）]k+1=[r（cosθ+isinθ）]kr（cosθ+isinθ）

=rk（coskθ+isinkθ）rk（cosθ+isinθ）

=rk+1[（coskθcosθ﹣sinkθsinθ）+i（sinkθcosθ+coskθsinθ）]

=rk+1[cos（k+1）θ+isin（k+1）θ]，

即当n=k+1时，等式成立；

综上，对n∈N+，zn=rn（cosnα+isinnα）

（2）解： = =1，

且 （cosα+isinα）（α为实常数），

∴数列{zn}是首项为Z1=1，公比为q= （cosα+isinα）的等比数列，

∴该数列的通项公式为Zn=Z1qn﹣1= [cos（n﹣1）α+isin（n﹣1）α]

（3）解：在（2）的条件下， = ﹣ =（ cosα﹣1， sinα）

∴| |= ．

= [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，

= = ．

|+…= × =

【解析】（1）按照数学归纳法的基本步骤即可证明等式成立；（2） = =1，且 （cosα+isinα）（α为实常数），可得数列{zn}是首项为Z1=1，公比为q= （cosα+isinα）的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得出．（3）在（2）的条件下， = [cosnα﹣2cos（n﹣1）α+i（sinnα﹣2sin（n﹣1）α）]，再利用数列极限求和公式即可得出．