Question

一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）．
（1）过此棱锥的高以及一底边中点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y，求y的最大值及y取最大值时的x的值；
（2）空间一动点P满足

SP

=a

SA

+b

SB

+c

SC

（a+b+c=1），在第（1）问的条件下，求|

SP

|的最小值，并求取得最小值时a，b，c的值；
（3）在第（1）问的条件下，设F是CD的中点，问是否存在这样的动点Q，它在此棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FQ⊥AC？如果存在，计算其运动轨迹的长度，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，即可求得截面三角形面积的函数表达式；
（2）先证明P，A，B，C共面，即P∈平面ABC，从而|

SP

|的最小值即是S到平面ABC的距离SO；
（3）取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，证明AC⊥平面GFT即可得到结论，从而可求轨迹的长度．

解答：解：（1）由题意，y=

1

2

EF•SO=

1

2

x•

25- x2 4

=

x 100-x2

4

（0＜x＜10）…．（2分）
∴y=

x 100-x2

4

=

x2(100-x2)

4

≤

1

4

×

x2+100-x2

2

=

25

2

．
当且仅当x²=100-x²，即x=5

2

时取得最大值．…..（4分）
（2）由

SP

=a

SA

+b

SB

+c

SC

（a+b+c=1），得(a+b+c)

SP

=a

SA

+b

SB

+c

SC

，
∴a(

SP

-

SA

)+b(

SP

-

SB

)+c(

SP

-

SC

)=

0

，
∴a

PA

=-b

PB

-c

PC

，
∴

PA

，

PB

，

PC

共面，
∴P，A，B，C共面，即P∈平面ABC．
∴|

SP

|的最小值即是S到平面ABC的距离SO，
在上问条件下，SO=

25- x2 4

=

5 2

2

…（7分）
此时

SP

=

1

2

SA

+0•

SB

+

1

2

SC

，即a=

1

2

，b=0，c=

1

2

…（9分）
（3）存在这样的点的轨迹，下面证明：

取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，FG∩AC=H，则GF∥BD，TH∥SO
∵SO⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥GF，AC⊥TH
∵GF∩TH=H
∴AC⊥平面GFT．
∴只要Q在平面GFT与棱锥的表面的交线上运动，均有FQ⊥AC．
此时，由中位线性质可知，△GFT的周长l=

1

2

（SB+BD+SD）=

25+ x2 4

+

2

2

x，
在（1）的条件下，l=

5 6 +10

2

…..（14分）

点评：本题考查函数模型的构建，考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．