Question

已知向量

OP1

、

OP2

、

OP3

满足

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1．
求证：△P₁P₂P₃是正三角形．

Answer 1

证明：
法一：∵

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，∴

OP1

+

OP2

=-

OP3

．∴|

OP1

+

OP2

|=|-

OP3

|．
∴|

OP1

|²+|

OP2

|²+2

OP1

•

OP2

=|

OP3

|²．
又∵|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，
∴

OP1

•

OP2

=-

1

2

．
∴|

OP1

||

OP2

|cos∠P₁OP₂=-

1

2

，
即∠P₁OP₂=120°．
同理∠P₁OP₃=∠P₂OP₃=120°．
∴△P₁P₂P₃为等边三角形．
法二：以O点为坐标原点建立直角坐标系，设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P₃（x₃，y₃），
则

OP1

=（x₁，y₁），

OP2

=（x₂，y₂），

OP3

=（x₃，y₃）．
由

OP1

+

OP2

+

OP3

=0，
得

x1+x2+x3=0 y1+y2+y3=0.

∴

x1+x2=-x3 y1+y2=-y3.

，
由|

OP1

|=|

OP2

|=|

OP3

|=1，得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²=x₃²+y₃²=1
∴2+2（x₁x₂+y₁y₂）=1
∴|

P1P2

|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

x12+x22+y12+y22-2x1x2-2y1y2

=

2(1-x1x2-y1y2)

=

3

同理|

P1P3

|=

3

，|

P2P3

|=

3

∴△P₁P₂P₃为正三角形