Question

记函数f（x）的导数为f^（1）（x），f^（1）（x）的导数为f^（2）（x），…，f^（n-1）（x）的导数为f^（n）（x）（n∈N^*）．若f（x）可进行n次求导，则f（x）均可近似表示为：

f(x)≈f(0)+ f(1)(0) 1! x+ f(2)(0) 2! x2+ f(3)(0) 3! x3+…+ f(n)(0) n! xn

若取n=4，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e≈

65

24

（用分数表示）（注：n!=n×（n-1）×…×2×1）

Answer 1

分析：令f（x）=e^x，由已知，将f（x）近似表示为f（0）+x+

x

2

+

x

6

+

x

24

，令x=1，则能得出关于e的表达式，整理计算即可．

解答：解：构造函数f（x）=e^x，根据导数运算，可知f^（n）（x）=e^x，f^（n）（0）=1
所以若取n=4，e^x≈f（0）+x+

x

2

+

x

6

+

x

24

，
令x=1，则e≈1+1+

1

2

+

1

6

+

1

24

=

65

24

故答案为：

65

24

点评：本题考查函数求导运算，阅读、转化、构造、计算能力．