Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），设左顶点为A，上顶点为B，且

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，如图．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若F（1，0），过F的直线l交椭圆于M，N两点，试确定

FM

•

FN

的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得A（-a，0），B（0，b），F（1，0），由

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，推导出b²-a-1=0，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）若直线l斜率不存在，则l：x=1，

FM

•

FN

=-

9

4

；若直线l斜率存在，设l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用韦达定理能求出

FM

•

FN

的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），
设左顶点为A，上顶点为B，
∴A（-a，0），B（0，b），F（1，0），
∵

OF

•

FB

=

AB

•

BF

，
∴b²-a-1=0，∵b²=a²-1，∴a²-a-2=0，解得a=2，
∴a²=4，b²=3，
∴椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）①若直线l斜率不存在，则l：x=1，
此时M(1，

3

2

)，N(1，-

3

2

)，

FM

•

FN

=-

9

4

；
②若直线l斜率存在，设l：y=k（x-1），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

消去y得：（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1•x2=

4k2-12

4k2+3

，
∴

FM

•

FN

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）
=（1+k²）[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=

-9

4- 1 1+k2

∵k²≥0，∴0＜

1

1+k2

≤1，
∴3≤4-

1

1+k2

＜4，
∴-3≤

FM

•

FN

＜-

9

4

，
综上，

FM

•

FN

的取值范围为[-3， -

9

4

]． …（13分）

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查线段乘积取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．