Question

（2012•虹口区三模）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：CF⊥B₁E；
（Ⅱ）求三棱锥VB1-EFC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF⊥平面BB₁D₁D，再由线面垂直的性质证明CF⊥B₁E即可；
（Ⅱ）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B₁EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积．

解答：解：（I）E、F分别为D₁D，DB的中点，
则CF⊥BD，又CF⊥D₁D
∴CF⊥平面BB₁D₁D，∴CF⊥B₁E
（II）∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，B1E=

B1D12+D1E2

=

12+(2 2 )2

=3
∴EF2+B1F2=B1E2，即∠EFB₁=90°，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

•S△B1EF•CF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×

2

=1．

点评：本题考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间感知能力及判断推理的能力，解题的关键是熟练掌握相关的定理及公式，本题是立体几何中的常规题题型，难度不大，计算麻烦．