Question

已知圆x²+y²=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点。
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程。

Answer 1

解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2，2y）
∵P点在圆x²+y²=4上，
∴（2x-2）²+（2y）²=4
故线段AP中点的轨迹方程为（x-1）²+y²=1。
（2）设PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²，
所以x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4
故PQ中点N的轨迹方程为x²+y²-x-y-1=0。