Question

沿海地区某农村在2002年底共有人口1480人，全年工农业生产总值为3180万元．从2003年起计划10年内该村的总产值每年增加60万元，人口每年净增a人，设从2003年起的第x年（2003年为第一年）该村人均产值为y万元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）为使该村的人均产值年年都有增长，那么该村每年人口的净增不能超过多少人？

Answer 1

分析：（1）据人均产值=

总产值

人数

，列出y与x的关系
（2）法一是利用单调递增函数的定义，设出有大小的两自变量得到其函数值的大小，列出不等式求出a的范围．
方法二是先将函数分离常数，再利用函数是增函数，得到分子小于0，列出不等式求出a的范围．

解答：（1）解：依题意得第x年该村的工农业生产总值为（3180+60x）万元，
而该村第x年的人口总数为（1480+ax）人，
∴y=

3180+60x

1480+ax

（1≤x≤10）．
（2）解法一：为使该村的人均产值年年都有增长，则在1≤x≤10内，y=f（x）为增函数．
设1≤x₁＜x₂≤10，则
f（x₁）-f（x₂）=

3180+60x1

1480+ax1

-

3180+60x2

1480+ax2

=

60×1480(x1-x2)+3180a(x2-x1)

(1480+ax1)(1480+ax2)

=

(88800-3180a)(x1-x2)

(1480+ax1)(1480+ax2)

．
∵1≤x₁＜x₂≤10，a＞0，
∴由f（x₁）＜f（x₂），得88800-3180a＞0．
∴a＜

88800

3180

≈27.9．又∵a∈N^*，∴a=27．
解法二：∵y=

60

a

（

53+x

1480 a +x

）
=

60

a

[1+

53- 1480 a

x+ 1480 a

]，
依题意得53-

1480

a

＜0，∴a＜

1480

53

≈27.9．
∵a∈N^*，∴a=27．
答：该村每年人口的净增不能超过27人．

点评：本小题主要考查函数知识、函数的单调性，考查数学建模，运用所学知识解决实际问题的能力．