Question

已知双曲线的离心率e=2，F₁、F₂为两焦点，M为双曲线上一点，若∠F₁MF₂=60°，且S△MF1F 2=12

3

．求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：当焦点在x轴上时，设方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）根据其离心率为2，知a，b，c的关系式．再由∠F₁MF₂=60°，且△MF₁F₂的面积为12

3

．即可求得a值．由此能导出双曲线的方程．

解答：解：如图，当焦点在x轴上时，设方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1
∵e=2⇒b=

3

a， c=2a
由∠F₁MF₂=60°
⇒|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁|•|MF₂|cos60°
⇒16a²=（|MF₁|-|MF₂|）²+|MF₁|•|MF₂|
⇒16a²=4a²+|MF₁|•|MF₂|
⇒|MF₁|•|MF₂|=12a²
且S△MF1F 2=12

3

，
∴

1

2

|MF₁|•|MF₂|sin60°=12

3

，
∴

1

2

×12a²×

3

2

=12

3

，⇒a=2，
∴b=

3

a=2

3

．
此时双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．
当焦点在y轴上时，方程为：

y2

4

-

x2

12

=1．

点评：本小题主要考查双曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力．