Question

5．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（2，4）时，f（x）=|x-3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（　　）

• A． 1
• B． 0
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 根据已知可得f（-x）=-f（x），f（-x+1）=f（x+1），结合x∈（2，4）时，f（x）=|x-3|，分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）可得答案．

解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x），f（-x+1）=f（x+1），
∴f（x+4）=f[（x+3）+1]=f[-（x+3）+1]=f（-x-2）=-f（x+2）
=-f[（x+1）+1]=-f[-（x+1）+1]=-f（-x）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（4）=f（0）=0，
∵当x∈（2，4）时，f（x）=|x-3|，
∴f（3）=0，f（4）=0，
f（1）=-f（-1）=-f（3）=0，
f（2）=-f（-2）=-f（2）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，
故选：B

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数求值，难度不大，属于基础题目．