Question

如图，AB是圆O的直径，P为圆外一点，PB是圆O的切线，PA是圆O的割线且与圆O相交于点C．过点C作圆O的切线与PB交于D点．求证：
（1）OD∥AP；
（2）PD•PB=PC•OD．

Answer 1

证明：（1）连接OC，BC，
在△OCD和△OBD中
∠OCD=∠OBD=90°，

OB=OC，OD=OD，
∴直角△OCD≌直角△OBD，
∴∠BOD=∠COD=∠BOC．①
又∠BOC与∠BAC分别是所对的圆心角和圆周角
∴∠BOC=∠BAC，②
由①②得∠BOD=∠BAC，
∴OD∥AP．
（2）∵PB²=PC•PA，③
由（1）知OD∥AP，O为AB中点，
∴DO是△BPA的中位线，
∴PA=2OD，PB=2PD，代入③得
2PD•PB=PC•2OD，
即PD•PB=PC•OD．
分析：（1）连接OC及BC，因为PB和DC为圆O的切线，所以角OBD和角OCD相等且都为直角，则三角形OBD和三角形OCD都为直角三角形，由一对半径相等和一对公共边，利用“HL”的方法即可得到两直角三角形全等，根据全等三角形的对应角相等得到角BOD等于角COD都等于角BOC的一半，又根据同弧所对的圆心角等于所对弧的圆周角的2倍，得到角OAC也为角BOC的一半，进而得到角BOD等于角OAC，根据同位角相等，两直线平行，即可得证；
（2）根据切割线定理得到PB的平方等于PC与PA的积，由（1）得出的OD与PA平行和O为AB的中点，得到D也为BP的中点（得到PB等于2PD），进而得到OD为三角形BPA的中位线，根据中位线定理，得到PA等于2OD，然后把切割线定理得到关系式中的PB和PA等量代换，约分化简后即可得证．
点评：此题考查学生灵活运用“HL”的方法证明两直角三角形全等，掌握切线的性质及切割线定理，要求学生善于观察图形寻找角与角之间存在的关系，培养学生的逻辑思维能力，是一道中档题．