Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，且a＞0），且a₃是6a₁与a₂的等差中项．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_nlog₂a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据已知条件即可求出a=3，所以根据n＞1时，a_n=S_n-S_n-1可得到a_n=3a_n-1，所以数列{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，所以根据等比数列的通项公式可写出a_n；
（2）bn=n•3nlog23，所以Tn=log23•(1•31+2•32+…+n•3n)   ①，而要求1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ容易想到用错位相减法：3Tn=log23•(1•32+2•33+…+n•3n+1)     ②，①-②即可求得T_n．

解答： 解：（1）根据S_n=a（S_n-a_n+1），分别令n=1，2，3，可求得：
a1=a，a2=a2，a3=a3；
∴6a+a²=a³；
∵a＞0；
∴6+a=a²，解得a=3；
∴S_n=3（S_n-a_n+1）①；
∴n＞1时，S_n-1=3（S_n-1-a_n-1+1）②；
∴①-②得：a_n=3a_n-1；
∴

an

an-1

=3；
∴{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列；
∴an=3n；
（2）bn=3nlog23n=n•3nlog23；
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log₂3（1•3¹+2•3²+…+n•3ⁿ）     ①；
∴3T_n=log23(1•32+2•33+…+n•3n+1)                    ②；
∴①-②得：-2Tn=log23(3+32+…+3n-n•3n+1)=log23•[

3(1-3n)

1-3

-n•3n+1]=

3

2

-(n+

1

2

)3n+1；
∴Tn=-

3

4

+

2n+1

4

•3n+1．

点评：考查前n项和的定义，等差中项的定义，以及前n项和S_n和通项a_n的关系，等比数列的定义以及通项公式，等比数列的求和公式，以及利用错位相减求前n项和的方法．