Question

（不等式选讲选做题）若ab＞0，且A（a，0）、B（0，b）、C（-2，-2）三点共线，则ab的最小值为

16

．

Answer 1

分析：根据题意，由A、B、C三点共线，可得k_AB=k_BC，由斜率公式可得2a+2b+ab=0，即ab=-2a-2b，依题意，可得a＜0，b＜0，则-2a-2b＞0，由基本不等式的性质可得-2a-2b≥4

ab

，进而可得，ab≥4

ab

，令t=

ab

＞0，可得t²-4t≥0，由一元二次不等式的性质可得t即

ab

的范围，进而易得ab的最小值．

解答：解：根据题意，A（a，0）、B（0，b）、C（-2，-2）三点共线，可得k_AB=k_BC，
即

b-0

0-a

=

b+2

0+2

，化简可得2a+2b+ab=0，即ab=-2a-2b，
若ab＞0，要么a＞0且b＞0，要么a＜0且b＜0
直线经过第三象限的C（-2，-2），由直线的性质可知，a＜0，b＜0
因为a＜0，b＜0，所以-2a-2b＞0且-2a-2b≥2

4ab

=4

ab

，
又因为ab=-2a-2b，所以ab≥4

ab

，
即ab-4

ab

≥0，
令t=

ab

＞0，可得t²-4t≥0，
解可得t≥4或t≤0，
又由t＞0，则t≥4，
即

ab

≥4，ab≥16；
则ab的最小值为16；
故答案为16．

点评：本题考查基本不等式的应用，涉及三点共线的问题，有一定的难度；解题的难点在于利用基本不等式对（-2a-2b）变形，可得ab≥4

ab

，进而由一元二次不等式的性质来求解．．