Question

椭圆的中心是原点O，短轴长为2

3

，左焦点为F（-c，0）（c＞0），相应的准线l与x轴交于点A，且点F分

AO

的比为3，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若PF⊥QF，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）设

AQ

=λ

AP

（λ＞1），点Q关于x轴的对称点为Q′，求证：

FQ′

=-λ

FP

．

Answer 1

分析：（I）由题意可得2b=2

3

，

a2

c

-c=3c结合a²=b²+c²可求a，b，c，进而求椭圆的方程
（II）可先设PQ：y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-1，0）由PF⊥QF可得（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
故需要联立方程

y=k(x+4) 3x2+4y2=12

，可得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，进而可得x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，x₁+x₂=-

32k2

3+4k2

，代入可求
（III）要证

FQ′

=-λ

FP

，只要证明P、F、Q三点共线且点F在线段PQ′上，

FQ′

与

FP

反向即可

解答：解：（I）由题意可得2b=2

3

，

a2

c

-c=3c
∵a²=b²+c²∴a=2，b=

3

∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（II）设PQ：y=k（x+4），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），F（-1，0）
∵PF⊥QF∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0∴（x₁+1）（x₂+1）+k² （x₁+4）（x₂+4）=0
∴（1+k²）x₁x₂+（1+4k²）（x₁+x₂）+（1+16k²）=0
联立

y=k(x+4) 3x2+4y2=12

，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0
∴x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

，x₁+x₂=-

32k2

3+4k2

代入化简得8k²=1∴k=±

2

4

．
∴直线PQ的方程为y=

2

4

（x+4）或y=-

2

4

（x+4）．
（III）如图所示，

|QN|

|PM|

=

|AQ|

|AP|

=λ
又|QN|=2|QF|，|PM|=2|PF|∴

|QF|

|PF|

=λ
又|FQ′|=|FQ|∴

|FQ′|

|PF|

=λ
再

|QQ1|

|PP1|

=

|AQ|

|AP|

=λ∴

|Q′Q1|

|PP1|

=

|FQ′|

|PF|

=λ
又∠PP₁F=∠Q′Q₁F=90°
∴P、F、Q三点共线且点F在线段PQ′上，

FQ′

与

FP

反向．
∴

FQ′

=-λ

FP

．

点评：本题主要考查了椭圆的性质在椭圆的方程求解中的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，属于综合性试题，考查了考试的逻辑推理与运算的能力