Question

已知{a_n}是递增的等差数列，a₁=2，=a₄+8
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d＞0，
∵a₁=2，=a₄+8
∴（2+d）²=2+3d+8，
∴d²+d-6=0，
解得d=2或d=-3（舍），…（3分）
∴d=2…（5分）
代入：a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n，
∴数列{a_n}的通项公式为：a_n=2n …（7分）
（Ⅱ）∵b_n=a_n+=2n+2²ⁿ …（9分）
∴数列{b_n}的前n项和：
S_n=b₁+b₂+…+b_n=（2+2²）+（4+2⁴）+…+（2n+2²ⁿ）
=（2+4+…+2n）+（2²+2⁴+…+2²ⁿ））…（11分）
=+
=n（n+1）+ …（14分）
分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，d＞0，依题意可得（2+d）²=2+3d+8，解得d，而a₁=2，可求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n，从而得b_n=2n+2²ⁿ，利用分组求和的方法即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．
点评：本题考查等差数列的通项公式，考查数列求和，着重考查分组求和与公式法求和，属于中档题．