Question

18.f（x）是定义在［0,1］上的增函数，满足f（x）=2f（）且f（1）=1,在每个区间（,）（i=1,2,…）上，y=f（x）的图象都是斜率为同一常数k的直线的一部分.

（Ⅰ）求f（0）及f（），f（）的值，并归纳出f（）（i=1,2,…）的表达式；

（Ⅱ）设直线x=，x=、x轴及y=f（x）的图象围成的梯形的面积为a_i（i=1,2,…）,记S（k）=（a₁+a₂+…+a_n）,求S（k）的表达式，并写出其定义域和最小值.

Answer 1

18.主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.

解：

（Ⅰ）由f（0）=2f（0）,得f（0）=0.

由f（1）=2f（）及f（1）=1,得f（）=f（1）=.

同理，f（）=f（）=.

归纳得f（）=（i=1,2,…）.

（Ⅱ）当＜x≤时，f（x）=+k（x－）,

a_i=［++k（－）］（－）

   =（1－）（i=1,2,…）.

所以｛a_n｝是首项为（1－）,公比为的等比数列,

S（k）的定义域为0＜k≤1,当k=1时取得最小值.