Question

△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°，则AD与平面BCD所成角的余弦值为

2

2

．

Answer 1

分析：作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，建立坐标系，通过求

AD

与平面BCD的夹角去求．

解答：解：设AB=1，作AO⊥BC于点O，连DO，以点O为原点，OD，OC，OA的方向分别为x轴、y轴、z轴方向，
建立坐标系，因为AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=60°，所以△ABC与△BCD都是正三角形，可得下列坐标：
O（0，0，0），D（

3

2

，0，0），B（0，-

1

2

，0），C（0，

1

2

，0），A（0，0，

3

2

）

AD

=（

3

2

，0，-

3

2

），显然

n1

=（0，0，1）为平面BCD的一个法向量，
|cos＜

AD

，

n1

＞|=|

- 3 2

3 2 ×1

|=|-

2

2

|=

2

2

∴直线AD与平面BCD所成角的余弦值为：

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：本题考查空间角的计算，考查转化的思想方法，计算能力．利用空间向量的知识，则使问题论证变成了代数运算，使解决问题更加方便．