Question

设P是椭圆上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=30°，则△PF₁F₂的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．16

Answer 1

【答案】分析：根据椭圆方程算出椭圆的焦点坐标为F₁（-3，0）、F₂（3，0）．由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=10，△PF₁F₂中用余弦定理得到|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=36，两式联解可得|PF₁|•|PF₂|=64（2-），最后根据三角形面积公式即可算出△PF₁F₂的面积．
解答：解：∵椭圆方程为，
∴a²=25，b²=16，得a=5且b=4，c==3，
因此，椭圆的焦点坐标为F₁（-3，0）、F₂（3，0）．
根据椭圆的定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=30°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=4c²=36，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=36+（2+）|PF₁|•|PF₂|=100
因此，|PF₁|•|PF₂|==64（2-），
可得△PF₁F₂的面积为S=•|PF₁|•|PF₂|sin30°=
故选：B
点评：本题给出椭圆上一点对两个焦点所张的角为30度，求焦点三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．