Question

9．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（0，-$\sqrt{3}$），（0，$\sqrt{3}$），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹λ的方程，并判断轨迹λ为何种曲线；
（2）当m=-$\frac{3}{4}$时，设点P（0，1），过点P作直线l与曲线λ交于E，F两点，且$\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{PE}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）令C点坐标为（x，y），QC 直线AC，直线BC的斜率，利用AC，BC所在直线的斜率之积等于m，求出轨迹方程，分类讨论图形．
（2）求出曲线C的方程，通过直线l的斜率不存在时，以及斜率垂直时，直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），通过$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PE}$得，以及韦达定理求解直线l的方程．

解答 解：（1）令C点坐标为（x，y），
则直线AC的斜率${k_1}=\frac{{y+\sqrt{3}}}{x}$，直线BC的斜率${k_2}=\frac{{y-\sqrt{3}}}{x}$，
所以有${k_1}{k_2}=\frac{{y-\sqrt{3}}}{x}•\frac{{y+\sqrt{3}}}{x}=\frac{{{y^2}-3}}{x^2}=m$，
化简得，$-\frac{m}{3}{x^2}+\frac{y^2}{3}=1（x≠0）$．…（2分）
所以当m=-1时，λ表示以（0，0）为圆心，$\sqrt{3}$为半径的圆，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$两点；
当m＜-1时，轨迹λ表示焦点在y轴上的椭圆，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$两点；当-1＜m＜0时，
轨迹λ表示焦点在x轴上的椭圆，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$两点；
当m＞0时，轨迹λ表示焦点在y轴上的双曲线，且除去$（{0，-\sqrt{3}}），（{0，\sqrt{3}}）$两点．…（6分）
（2）由题意知当$m=-\frac{3}{4}$时曲线C为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1（x≠0）$，…（7分）
当直线l的斜率不存在时，不符合题意．…（8分）
设直线l的方程为y=kx+1，代入椭圆方程整理得（3+4k²）x²+8kx-8=0．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由$\overrightarrow{FP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PE}$得，x₁=-3x₂．
由韦达定理得${x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-8}{{3+4{k^2}}}$，…（10分）
所以${x_2}=\frac{4k}{{3+4{k^2}}}$，${x_2}^2=\frac{8}{{3（3+4{k^2}）}}$，消去x₂，解得$k=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
所以直线l的方程为$y=±\frac{{\sqrt{6}}}{2}x+1$．…（13分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的综合应用，考查计算能力．