Question

已知平行于直线2x-y+1=0的直线l与双曲线

x2

3

-

y2

2

=1交于A，B两点，且|AB|=4．
（1）求直线l的方程
（2）求△AOB的面积，O为原点．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由两直线平行的条件，可得直线l：2x-y+t=0，联立双曲线方程，消去y，得x的二次方程，运用判别式大于0，韦达定理，以及弦长公式，计算可得t，进而得到所求直线方程；
（2）求出原点到直线l的距离d，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．

解答： 解：（1）设平行于直线2x-y+1=0的直线l：2x-y+t=0，
联立双曲线方程2x²-3y²=6，
消去y，得10x²+12tx+3t²+6=0，
判别式144t²-40（3t²+6）＞0，解得，t²＞10．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

6t

5

，x₁x₂=

3t2+6

10

，
则|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

36t2 25 - 12t2+24 10

=4，
解得，t²=

70

3

＞10成立，即有t=±

210

3

则直线l的方程为y=2x±

210

3

；
（2）原点到直线l的距离d=

210 3

1+4

=

42

3

，
则△AOB的面积S=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×

42

3

×4=

2 42

3

．

点评：本题考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，考查两直线的平行的条件及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．