Question

若Rt△ABC所在平面外一点P到△ABC的三个顶点距离相等．求证：过点P和△ABC斜边中点的直线必垂直于三角形所在的平面．

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵PA＝PB，PD＝PD，AD＝BD， 　　∴△PDA≌△PDB． 　　∴∠PDA＝∠PDB． 　　又∠PDA＋∠PDB＝180°， 　　∴∠PDA＝∠PDB＝90°． 　　∴PD⊥AB． 　　同理△PDA≌△PDC． 　　∴∠PDC＝∠PDA＝90°． 　　∴PD⊥DC． 　　又DC与AB相交， 　　∴PD⊥平面ABC． 　　思路分析：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB中点． 　　在△PDA与△PDB中，PA＝PB，PD＝PD，AD＝BD，这两个三角形全等． 　　所以∠PDA＝∠PDB＝90°，同时可有△PDA和△PDC全等， 　　所以∠PDC＝∠PDA＝90°，问题得证．