Question

在△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c设向量=（a，cosB），=（b，cosA）且，
（Ⅰ）若sinA+sinB=，求A；
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b试确定x的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）因为向量=（a，cosB），=（b，cosA）且，，所以，acosA=sinB．--------（1分）
由正弦定理，可得sinAcosA=sinBcosB，即 sin2A=sin2B．--------------（2分）
所以 2A+2B=π，即 A+B=．-------（3分）
再由sinA+sinB=，以及sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+），可得 ．------（4分）
由于 A为锐角，故有A+= 或A+=，∴，或．------（6分）
（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，且abx=a+b，则 x=，由正弦定理，得．-----（8分）
设 sinA+cosA=t，t∈（1，），则 t²=1+2sinAcosA，∴sinAcosA=，-----------（10分）
即 ，所以实数x的取值范围为．---------（12分）
分析：（Ⅰ）由两个向量共线的性质求得sin2A=sin2B，故A+B=．再由sinA+sinB=，求得，可得A+= 或A+=，由此求得A的值．
（Ⅱ）由条件结合正弦定理可得 ，设 sinA+cosA=t，t∈（1，），根据 ，求得实数x的取值范围．
点评：本题主要考查两个向量共线的性质，正弦定理两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．