Question

正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长是

3

，侧棱长是3，点E，F分别在BB₁，DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．
①求证：A₁C⊥面AEF；
②延伸平面AEF与CC₁交于点M，求平面AEF与平面ABD所成的二面角；
③求多面体ABCD-EFM的体积．

Answer 1

分析：①根据三垂线定理逆定理，先利用AC₁在平面A₁B上的射影为A₁B以及A₁B⊥AE得到A₁C⊥AE；同理A₁C⊥AF．即可证A₁C⊥平面AEF；
②延长ME，CB交于点G，连AG，则AG为平面AEF与平面ABD的交线，易证得AG∥BD，连AC，连AM，则∠MAC为所求二面角的平面角．
③将多面体ABCD-EFM进行割补．过EF作面ENFH∥面ABCD，分别交AA₁、CC₁于H、N．则V_M-EFN=V_A-EFH，于是利用V_ABCD-EFM=V_ABCD-HENF求解．

解答：解：①证明：∵CB⊥平面A₁B，
∴AC₁在平面A₁B上的射影为A₁B．
又A₁B⊥AE，AE?平面A₁B，
由三垂线定理逆定理，
∴A₁C⊥AE．同理A₁C⊥AF，
∵AE∩AF=A，
∴A₁C⊥平面AEF． 
（2）延长ME，CB交于点G，连AG，则AG为平面AEF与平面ABD的交线．
由题可得

∠A1AB=∠ABE ∠AA1B=∠BAE

，所以△A₁AB∽△ABE，

A1A

AB

=

AB

BE

，BE=

AB2

A1A

=

( 3 )2

3

=1，同理求得DF=1．
∴BE=FD，又∵BE∥FD，∴四边形BEFD为平行四边形，∴EF∥BD．
∵EF?平面ABD，BD?平面ABD，根据直线和平面平行的判定定理，得出EF∥平面ABD，∵EF?平面AEF，平面AEF∩平面ABD=AG，利用直线和平面平行的判定定理得出EF∥AG．∴AG∥BD，且B为GC中点．
连接AC，连AM，由BD⊥AC，BD⊥AM，得出AG⊥AC，AG⊥AM，所以∠MAC为所求二面角的平面角．
在RT△MAC中，MC=2BE=2，AC=

2

•

3

=

6

，tan∠MAC=

MC

AC

=

2

6

=

6

3

，
∴∠MAC=arctan

6

3

．
（3）过EF作面ENFH∥面ABCD，分别交AA₁、CC₁于H、N
则V_M-EFN=V_A-EFH∴V_ABCD-EFM=V_ABCD-HENF=3×2=6．

点评：本题综合考查了直线和平面垂直的判定和性质以及无棱二面角求解，不规则几何体体积计算．考查空间想象能力、推理论证能力运算求解能力．无棱二面角求解一般要进行平面延展，得出棱．