Question

（2013•闸北区二模）已知函数f（x）=

2sinx，0≤x≤2π x2，x＜0

，若f（f（x₀））=3，则x₀=

4π

3

或

5π

3

．

Answer 1

分析：令f（x₀）=t，根据函数解析式，分t∈[0，2π]和t∈（-∞，0）时，解关于t的方程得到t=-

3

，即f（x₀）=-

3

．由此再分x₀∈[0，2π]和x₀∈（-∞，0）时两种情况加以讨论，解关于x₀的方程即可得到实数x₀的值．

解答：解：令f（x₀）=t，则
当t∈[0，2π]时，由2sint=3，得sint=

3

2

＞1，找不出实数t满足方程
当t∈（-∞，0）时，得t²=3，解之得t=-

3

因此可得f（x₀）=-

3

①当x₀∈[0，2π]时，由2sinx₀=-

3

，得sinx₀=-

3

2

解之得x₀=

4π

3

或

5π

3

；
②当x₀∈（-∞，0）时，由x₀²=-

3

知找不出实数x₀满足方程．
综上所述，可得x₀=

4π

3

或

5π

3

；
故答案为：

4π

3

或

5π

3

点评：本题给出分段函数，求方程f（f（x₀））=3的解，着重考查了分段函数的含义和三角函数的化简与求值等知识，属于基础题．