Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；

(Ⅱ) 求的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ) [，）

【解析】

试题分析： (Ⅰ) 设F₂(c，0)，则

＝，所以c＝1．

因为离心率e＝，所以a＝．

所以椭圆C的方程为．                       6分

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)

．

当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

由 得(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，

则－1＋4mk＝0，故k＝．

此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为．

即．

联立 消去y，整理得．

所以，．

于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂

．

令t＝1＋32m²，1＜t＜29，则．

又1＜t＜29，所以．

综上，的取值范围为[，）．                     15分

考点：本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。

点评：圆锥曲线问题每年高考都在压轴题的位置出现，难度较大，但是一般也离不开直线与圆联立方程，运算量较大，要注意数形结合、设而不求等方法的应用.