Question

如果以原点为圆心的圆经过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的顶点，并且被双曲线的右准线分成弧长之比为3：1的两段弧，则双曲线的离心率为

2

．

Answer 1

分析：由题意可得圆O的圆心为原点，半径为a．根据圆O被双曲线的右准线分成弧长之比为3：1的两段弧，得到直线x=

a2

c

被圆O截得A、B两点，△AOB是以AB为斜边的等腰直角三角形，由此可得

a2

c

=

2

2

a，由此解出离心率

解答：解：∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的顶点坐标为（±a，0），
∴圆O的方程为x²+y²=a²
∵双曲线的右准线：x=

a2

c

交圆O于AB两点，优弧AB长是劣弧AB的3倍
∴∠AOB=90°，可得△AOB是以AB为斜边的等腰直角三角形
所以

a2

c

=

2

2

a，可得e=

c

a

=

2

故答案为：

2

点评：本题以直线与圆相交构成等腰直角三角形为例，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题．