Question

如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，E、F分别为AB、PD的中点，过AE、AF的平面交PC于点H，二面角P-CD-B为45°，PA=a．
（Ⅰ）求证：AF∥EH；
（Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）求多面体ECDAHF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定，证明EA∥平面PCD，再证明四边形EAFH是平行四边形，即可证明AF∥EH；
（Ⅱ）证明AF⊥平面PCD，可得EH⊥平面PCD，利用面面垂直的判定，可以证明平面PCE⊥平面PCD； 
（Ⅲ）利用V_{多面体ECDAHF}=V_P-AECD-V_P-EAFH，可求多面体ECDAHF的体积．
解答：（Ⅰ）证明：∵EA∥CD，CD?平面PCD，EA?平面PCD，
∴EA∥平面PCD．
又平面EAFH∩平面PCD=HF，且EA?平面EAFH，
∴EA∥HF．
∴HF∥CD．
∵E、F分别是AB、PD的中点，
∴EA∥HF∥CD，EA=HF=CD．
∴四边形EAFH是平行四边形．
∴AF∥EH．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD是PD在平面ABCD内的射影，
∴PD⊥CD．
∴∠PDA是二面角P-CD-B的平面角，即∠PDA=45°．
∴△PAD是等腰Rt△，又F是斜边PD上的中点，
∴AF⊥PD．
∵AF在平面ABCD内的射影AD⊥CD，
∴AF⊥CD，而PD∩CD=D．
∴AF⊥平面PCD．
∵EH∥AF，∴EH⊥平面PCD．
又EH?平面PCE，∴平面PCE上平面PCD．…（9分）
（Ⅲ）解：由上面的证明可知，PF⊥平面EAFH，四边形EAFH是矩形，
∵PA=AD=a，
∴．
∴．
=
∴V_{多面体ECDAHF}=V_P-AECD-V_P-EAFH=．…（13分）
点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查面面垂直，考查多面体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．