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在平面直角坐标系中,已知圆心在轴上,半径为4的圆位于轴右侧,且与轴相切.

(1)求圆的方程;

(2)若椭圆的离心率为,且左右焦点为.试探究在圆上是否存在点,使得为直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标).


解:(1)依题意,设圆的方程为

∵圆与轴相切,∴

∴圆的方程为   

(2)∵椭圆的离心率为

    解得   

   即恰为圆心

(i)过轴的垂线,交圆,则,符合题意;

(ii)过可作圆的两条切线,分别与圆相切于点

连接,则,符合题意.

综上,圆上存在4个点,使得为直角三角形.


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