Question

【题目】如图，直角梯形中， ，等腰梯形中， ，且平面平面．

（1）求证： 平面；

（2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）直接利用面面垂直的性质定理可证；

（2）设，计算后可证OF//BE，从而由已知可证OF⊥平面ABCD，因此可以OA，OB，OF为坐标轴建立空要间直角坐标系，利用向量法求二面角．

试题解析：

（1）∵平面平面， ，平面平面，

又平面，∴平面；

（2）设，∵四边形为等腰梯形， ，

∴，

∵，∴四边形为平行四边形，∴，

又∵平面，∴平面，

∴为与平面所成的角，∴，

又∵，∴，

以为原点， 为轴， 为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，

则， ，

∵平面，∴平面的法向量为，

设平面的一个法向量为，

由得，令得， ，

，∴二面角的余弦值为．