Question

已知函数
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上不等式|f（x）|≤3恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）a=1时，，
∵f（x）在（-∞，0）上递减，∴f（x）＞f（0），
∴f（x）∈（3，+∞）．
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3?-4-≤a≤2-
?-4•2^x-≤a≤2•2^x-，
∵2•2^x-在[0，+∞）上单调递增，
∴2•2^x-≥1；
令g（x）=?-4•2^x-（x≥0），g′（x）=-4ln2•2^x-ln2=＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（0）=-5．
由-4•2^x-≤a≤2•2^x-恒成立，得-5≤a≤1．
所以实数a的取值范围为[-5，1]．
分析：（1）根据f（x）在（-∞，0）上的单调性即可求得值域；
（2）|f（x）|≤3即-3≤f（x）≤3?-4•2^x-≤a≤2•2^x-，问题转化为求2•2^x-的最小值及-4•2^x-的最大值问题，根据其单调性即可求得最值．
点评：本题为指数函数的综合问题，考查学生对问题的分析解决能力，具有一定综合性．