Question

如图,P—ABCD是正四棱锥,ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方体,其中AB=2,PA= .

(1)求证:PA⊥B₁D₁;

(2)求平面PAD与平面BDD₁B₁所成的锐二面角的大小;

(3)求B₁到平面PAD的距离.

 

Answer 1

解法一:(1)以D₁为原点,D₁A₁为x轴,D₁C₁为y轴,DD₁为z轴建立空间直角坐标系,D₁(0,0,0),A₁(2,0,0),B₁(2,2,0),C₁(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).

∵=(-1,1,2),=(2,2,0),

∴·=0,

即PA⊥D₁B₁.

(2)平面BDD₁B₁的法向量为=(-2,2,0),=(2,0,0),=(1,1,2),

设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥且n⊥,

∴取n=(0,2,-1),

设所求的锐二面角为θ,则

cosθ=||=,

θ=arccos.

(3)=(2,2,-2),设所求的距离为d,

则d=||=.

解法二:(1)连结AC,交BD于点O,连结PO,则PO⊥平面ABCD.

又∵AC⊥BD,∴PA⊥BD.

∵BD∥B₁D₁,∴PA⊥B₁D₁.

(2)∵AO⊥BD,∴AO⊥PO.∴AO⊥平面PBD.

过点O作OM⊥PD于点M,连结AM,则AM⊥PD.

∴∠AMO就是二面角APDO的平面角.

∵AB=2,PA=,

∴AO=,PO==2,OM===.

∴tan∠AMO=,

即二面角的大小为arctan.

(3)用体积法求解:连结B₁P,B₁D,B₁A,

则h·S_△PAD=AO·,

即有h··2·=···,

解得h=,即B₁到平面PAD的距离为.