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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量
    OA
    ，
    OB
    满足|
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |    ，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
    （1）证明线段AB是圆C的直径；
    （2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
    2
    		5
    5
    时，求p的值．
    （1）∵向量
    OA
    ，
    OB
    满足|
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |    ，
    ∴(
    OA
    +
    OB
    )     2    =(
    OA
    -
    OB
    )     2
    即
    OA
    2    +2
    OA
    •
    OB
    +
    OB
    2    =
    OA
    2    -2
    OA
    •
    OB
    +
    OB
    2
    整理得
    OA
    •
    OB
    =0
    ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）
    ∴
    OA
    =（x1，y1），
    OB
    =（x2，y2）
    ∴x1x2+y1y2=0①
    设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，
    则
    MA
    •
    MB
    =0
    即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0
    展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0
    故线段AB是圆C的直径．
    （Ⅱ）设圆C的圆心为C（x，y），
    则x=
    x1+x2
    2
    ，y=
    y1+y2
    2

    ∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），
    ∴x1x2=
    y12y22
    4p2

    又∵x1x2+y1y2=0
    ∴x1x2=-y1y2
    ∴-y1y2=
    y12y22
    4p2

    ∴y1y2=-4p2
    ∴x=
    x1+x2
    2
    =
    1
    4p
    （y12+y22）
    =
    1
    4p
    （y12+y22+2y1y2）-
    y1y2
    2p

    =
    1
    p
    （y2+2p2）
    ∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2
    设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，，则
    d=
    |x-2y|
    		5

    =
    |
    1
    p
    (y2+2p2)-2y|
    		5

    =
    |(y-p)2+p2|
    		5
    p

    当y=p时，d有最小值
    p
    		5
    ，
    由题设得?
    p
    		5
    =
    2
    		5
    5

    ∴p=2
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    已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，向量
    OA
    ，
    OB
    满足|
    OA
    +
    OB
    |=|
    OA
    -
    OB
    |    ，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
    （1）证明线段AB是圆C的直径；
    （2）当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为
    2
    		5
    5
    时，求p的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆L：
    x2
    18
    +
    y2
    9
    =1    上不同的两点，线段AB的中点为M(2，
    1)    ．
    （1）求直线AB的方程；
    （2）若线段AB的垂直平分线与椭圆L交于点C、D，试问四点A、B、C、D是否在同一个圆上，若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=sinx（-π＜x＜0）图象上的两个不同点，且x1＜x2，给出下列不等式：
    ①sinx1＜sinx2；
    ②sin
    x1
    2
    ＜sin
    x2
    2
    ；
    ③
    1
    2
    (sinx1+sinx2)＞sin
    x1+x2
    2
    ；
    ④
    sinx1
    x1
    ＞
    sinx2
    x2
    ．
    其中正确不等式的序号是
    ②③
    ②③
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线y2=2px（p＞0）上的两个动点，O是坐标原点，且OA⊥OB，设圆C的方程为x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0．
    （1）证明：圆C是以线段AB为直径的圆；
    （2）当圆心C到直线x-2y=0的距离的最小值为
    		5
    时，求P的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点A （x1，y1）；B（x2，y2）是定义在区间M上的函数y=f（x）的图象任意不重合两点，直线AB的斜率总小于零，则函数y=f（x） 在区间M上总是（　　）

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