Question

已知双曲线C经过点且渐近线方程为y=±x，直线l的方程为y=kx+m．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若m=-1，且直线l与C有且仅有一个公共点，求k的值；
（3）若，求直线l与C的两个交点A、B的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由渐近线方程为y=±x，设C的方程为：x²-y²=λ（λ≠0），由双曲线C经过点，得9-8=λ，由此能求出双曲线C的方程．
（2）m=-1时，l：y=kx-1，由，得（k²-1）x²-2kx+2=0，由此能求出k的值．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²-y²=1，得，故（）-（）=0，由此能求出M的轨迹方程．
解答：解：（1）∵双曲线C经过点且渐近线方程为y=±x，
∴设C的方程为：x²-y²=λ（λ≠0），
把点代入，得9-8=λ，
∴λ=1．
故双曲线C的方程：x²-y²=1．
（2）m=-1时，l：y=kx-1，
由，得（k²-1）x²-2kx+2=0，
∵直线l与C有且仅有一个公共点，
∴k²-1≠0，且△=8-4k²=0，或k²-1=0，
解得∴k=，或k=±1．
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²-y²=1，
得，
∴（）-（）=0，
即（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
设M（x，y），
∵A、B的中点是M，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵|k|＞1，
∴x，
故M的轨迹方程：．
点评：本题考查直线和双曲线的位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．