Question

如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC₁上中点，F是AB中点，AC = 1，BC = 2，AA₁ = 4.

（1）求证：CF∥平面AEB₁；（2）求三棱锥C－AB₁E的体积.

Answer 1

（1）详见试题解析;（2）

试题分析：（1）根据直线平行平面的判定定理，需要在平面AEB₁内找一条与CF平行的直线.根据题设，可取的中点，通过证明四边形是平行四边形来证明，从而使问题得证.
（2）由题易得面，即面，就是三棱锥的高
所以求三棱锥的体积可转化为求三棱锥的体积.
试题解析：（1）证明：取的中点，联结
∵分别是棱、的中点，
∴
又∵
∴四边形是平行四边形，
∴
∵平面，平面
∴平面
（2）解： 因为底面，所以底面，
又 ，所以 
所以面，即面
所以点到平面的距离为 
又因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，即为2
所以.