Question

（理）已知向量

m

=（1，1），向量

n

和向量

m

的夹角为

3π

4

，|

m

|=

2

，

m

•

n

=-1．
（1）求向量

n

；
（2）若向量

n

与向量

q

=（1，0）的夹角为

π

2

，向量

p

=（cosA，2cos2

C

2

），其中A、B、C为△ABC的内角a、b、c为三边，b²+ac=a²+c²，求|

n

+

p

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式及向量模的坐标公式列出方程组，求出

n

（2）利用

n

⊥

q

确定出

n

，利用三角形的余弦定理求出∠B，利用向量模的坐标公式求出|

n

+

p

|2，利用三角函数的二倍角公式化简三角函数，利用整体思想求出三角函数的取值范围．

解答：解：（1）设

n

=（x，y），由

m

•

n

=-1得x+y=-1，
又∵

n

和

m

的夹角为

3π

4

，，

m

•

n

=|

m

||n|cos

3π

4

=-1，
∴|

n

|=1?x²+y²=1，
解方程组

x+y=-1 x2+y2=1

，可解得

n

=（-1，0）或（0，-1）．
（2）由

n

与

q

=（1，0）的夹角为

π

2

知

n

=（0，-1），
由b²+ac=a²+c²?∠B=

π

3

得∠A+∠C=

2π

3

，
则|

n

+

p

|²=cos2A+(2cos2

C

2

-1)2=cos²A+cos²C=

1+cos2A

2

+

1+cos2C

2

=1+

1

2

[cos2A+cos(

4π

3

-2A)]=1+

1

2

(

1

2

cos2A-

3

2

sin2A)=1+

1

2

cos(2A+

π

3

)．
0＜A＜

2π

3

?

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

?

1

2

≤1+

1

2

cos(2A+

π

3

)＜

5

4

，
∴|

n

+

p

|的取值范围为[

2

2

，

5

2

）．

点评：本题考查向量的数量积公式、向量模的坐标公式、三角形的余弦定理、三角函数的二倍角公式、整体思想求三角函数的值域