Question

20．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F₂的直线交椭圆于A，B两点，F₁为其左焦点，已知△AF₁B的周长为4$\sqrt{3}$，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线y=kx+m相交于不同的两点M，N，当|PM|=|PN|时，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用△AF₁B的周长为4$\sqrt{3}$，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（2）设A为弦MN的中点，直线与椭圆方程联立得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，可得m²＜3k²+1，|PM|=||PN|，可得AP⊥MN，由此可推导出m的取值范围．

解答 解：（1）∵△AF₁B的周长为4$\sqrt{3}$，椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$
∴b=1，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
（2）设A（x_A，y_A）、M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N），A为弦MN的中点，
直线y=kx+m与椭圆方程联立，消去y可得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
∵直线与椭圆相交，∴△=（6mk）²-12（3k²+1）（m²-1）＞0，∴m²＜3k²+1，①
由韦达定理，可得A（-$\frac{3km}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+3{k}^{2}}$）
∵|PM|=||PN|，∴AP⊥MN，
∴$\frac{\frac{m}{1+3{k}^{2}}+1}{-\frac{3km}{1+3{k}^{2}}}•k=-1$
∴2m=3k²+1②
把②代入①得2m＞m²解得0＜m＜2
∵2m=3k²+1＞1，∴m＞$\frac{1}{2}$
∴$\frac{1}{2}$＜m＜2．
当k=0时，m=$\frac{1}{2}$，也成立．
综上可得m的范围是[$\frac{1}{2}$，2）．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．