Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y²=1的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，求出a，b，c的值，然后设P的坐标，根据PF₁•PF₂的表达式，按照一元二次函数求最值方法求解．
（Ⅱ）设出直线方程，与已知椭圆联立方程组，运用设而不求韦达定理求出根的关系，求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意易知a=2，b=1，c=

3

所以F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
设P（x，y），
则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x2+y2-3=x2+1-

x2

4

-3=

1

4

(3x2-8)
因为x∈[-2，2]，
故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值-2
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值1

（Ⅱ）显然直线x=0不满足题设条件，
可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，消去y，整理得：(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0
∴x1+x2=-

4k

k2+ 1 4

，x1•x2=

3

k2+ 1 4

由△=(4k)2-4(k+

1

4

)×3=4k2-3＞0得：k＜-

3

2

或k＞

3

2

，
又0°＜∠A0B＜90°?cos∠A0B＞0?

OA

•

OB

＞0
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞0
又y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）
=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

3k2

k2+ 1 4

+

-8k2

k2+ 1 4

+4=

-k2+1

k2+ 1 4

∵

3

k2+ 1 4

+

-k2+1

k2+ 1 4

＞0，
即k²＜4∴-2＜k＜2
故由①、②得：
-2＜k＜-

3

2

或

3

2

＜k＜2．

点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力．本题为中档题，需要熟练运用设而不求韦达定理．