Question

17．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{2}-1}{2}$
• C． $\sqrt{3}$-1
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 由已知可得：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1与直线y=2x交于（c，2c）点，代入可得离心率的值．

解答 解：由已知可得：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1与直线y=2x交于（c，2c）点，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{4c}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{4c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即a⁴-6a²c²+c⁴=0，
即1-6e²+e⁴=0，
解得：e²=3-2$\sqrt{2}$，或e²=3+2$\sqrt{2}$（舍去），
∴e=$\sqrt{2}$-1，或e=1-$\sqrt{2}$（舍去），
故选：D

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，根据已知构造关于a，c的方程，是解答的关键．