Question

19．已知数列{b_n}是首项为-34，公差为1的等差数列，数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），且a₁=b₃₇，则数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的最大值为$\frac{1}{{2}^{36}}$．

Answer 1

分析 根据题意，由等差数列的通项公式可得数列{b_n}的通项公式，进而对于数列{a_n}，由a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁，计算可得数列{a_n}的通项公式，即可得数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的通项，结合数列的性质分析可得当n=36时，数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}取得最大值，计算即可得答案．

解答 解：根据题意，数列{b_n}是首项为-34，公差为1的等差数列，
则b_n=（-34）+1×（n-1）=n-35，
b₃₇=37-35=2，
对于数列{a_n}满足a_n+1-a_n=2ⁿ（n∈N^*），a₁=b₃₇=2，
则有a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2^n-1+2^n-2+…+2）+2=$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$=2ⁿ，
数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}的通项为：$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n-35}{{2}^{n}}$，
分析可得：当n=36时，数列{$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$}取得最大值，此时$\frac{{b}_{36}}{{a}_{36}}$=$\frac{1}{{2}^{36}}$；
故答案为：$\frac{1}{{2}^{36}}$．

点评 本题考查数列的递推公式的应用，关键是求出数列{a_n}的通项公式．