Question

已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F₁，F₂，且它们在第一象限的交点为P，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．若PF₁=10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2），则该椭圆的离心率的取值范围是

（

1

3

，

2

5

）

．

Answer 1

分析：设椭圆的长半轴为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，它们公共的焦距为2c，|PF₂|=n，根据椭圆与双曲线的定义建立方程组解出a₁=5+c且a₂=5-c，得到双曲线的离心率为

c

5-c

∈（1，2），由此解出c的范围再代入椭圆离心率的表达式，利用不等式的性质加以计算，可得该椭圆的离心率的取值范围．

解答：解：如图，设椭圆的长半轴为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，
它们公共的焦距为2c，|PF₂|=n，
∵|PF₁|=10，△PF₁F₂是以PF₁为底边的等腰三角形．
∴由椭圆与双曲线的定义，得

10+n=2a1 10-n=2a2 n=2c

，解之得

a1=5+c a2=5-c

，
∵双曲线的离心率的取值范围为（1，2），∴1＜

c

5-c

＜2，
设

c

5-c

=x，可得c=

5x

1+x

，
从而得到椭圆的离心率e=

c

5+c

=

x

2x+1

=

1

2

-

1

4x+2

．
由1＜x＜2，可得

1

2

-

1

6

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

1

2

-

1

10

，即

1

3

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

2

5

．
即该椭圆的离心率的取值范围是（

1

3

，

2

5

）．
故答案为：（

1

3

，

2

5

）

点评：本题给出有公共焦点的椭圆与双曲线，在双曲线离心率的取值范围为（1，2）时求椭圆的离心率的取值范围．着重考查了椭圆、双曲线的定义与标准方程，利用不等式的基本性质求变量取值范围等知识，属于中档题．