Question

已知x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点，且函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e²．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并求单调区间．
（Ⅱ）设g（x）=，其中x∈[-2，m]，问：对于任意的m＞-2，方程g（x）=（m-1）²在区间（-2，m）上是否存在实数根？若存在，请确定实数根的个数．若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）f^′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x
由f^′（0）=0得b=-a∴f^′（x）=[x²+（a+2）x]e^x
又f^′（2）=2e²
∴[4+2（a+2）]e²=2e²
故a=-3
令f^′（x）=（x²-x）e^x≥0得x≤0或x≥1
令f^′（x）=（x²-x）e^x＜0得0＜x＜1
故：f（x）=（x²-3x+3）g^x，单调增区间是（-∞，o]，[1，+∞），单调减区间是（0，1）．
（Ⅱ）解：假设方程g（x）=在区间（-2，m）上存在实数根
设x₀是方程的实根，，
令，从而问题转化为证明方程
在（-2，m）上有实根，并讨论解的个数
因为=，，
所以
①当m＞4或-2＜m＜1时，h（2）-h（m）＜0，所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且只有一解
②当1＜m＜4时，h（-2）＞0且h（m）＞0，但由于，
所以h（x）=0在（-2，m）上有解，且有两解
③当m=1时，h（x）=x²-x=0?x=0或x=1，所以h（x）=0在（-2，m）上有且只有一解；
当m=4时，h（x）=x²-x6=0?x=-2或x=3，
所以h（x）=0在（-2，4）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的m＞-2，方程g（x）=在区间（-2，m）上均有实数根
且当m≥4或-2＜m≤1时，有唯一的实数解；当1＜m＜4时，有两个实数解．
分析：（Ⅰ）由x=0是函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）的一个极值点，f^′（0）=0，得到关于a，b的一个方程，函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为2e²，f^′（2）=2e²；得到一个关于a，b的一个方程，解方程组求出a，b即可；（Ⅱ）把求得的f′（x）代入g（x），方程g（x）=（m-1）²在区间（-2，m）上是否存在实数根，转化为求函数g（x）在区间（-2，m）上的单调性、极值、最值问题．
点评：考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，求函数f（x）的解析式体现了方程的思想；方程根的个数问题转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，再求函数最值中，又用到了分类讨论的思想；属难题．