Question

用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数a₁a₂a₃a₄a₅，满足a₁＜a₂，a₂＞a₃，a₃＜a₄，a₄＞a₅的五位数有多少个？

Answer 1

【答案】分析：特殊元素是a₂和a₅，先考虑a₂，再考虑a₅，当a₂=3、4、5 时，分别求出a₅的值及其它值的情况，最后，把几种情况得到的结果求和．
解答：解：因为a₂＞a₁、a₃，a₄＞a₃、a₅，所以a₂只能是3、4、5．
（1）若a₂=3，则a₄=5，a₅=4，a₁与a₃是1或2，这时共有A₂²=2个符合条件的五位数．
（2）若a₂=4，则a₄=5，a₁、a₃、a₅可以是1、2、3，共有A₃³=6个符合条件的五位数．
（3）若a₂=5，则a₄=3或4，此时分别与（1）（2）情况相同．
所以，满足条件的五位数有2（A₂²+A₃³）=16个．
点评：本题考查排列及排列数公式的应用，体现分类讨论的数学思想．