Question

（2012•顺河区一模）已知函数f(x)=ln

1

x

-ax2+x(a＞0)．
（1）若f（x）是单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，证明：f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

Answer 1

分析：（1）先由f（x），求出f′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．再利用导数判断函数的单调性，由f（x）是单调函数，能求出a的取值范围．
（2）由（1）知，当且仅当a∈（0，

1

8

）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．求得f（x₁）+f（x₂）=-ln（x₁x₂）+

1

2

（x₁+x₂）+1=ln（2a）+

1

4a

+1．令g（a）=ln（2a）+

1

4a

+1，a∈（0，

1

8

]，由此能够证明f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=-lnx-ax²+x，
f′（x）=-

1

x

-2ax+1=-

2ax2-x+1

x

．…（2分）
令△=1-8a．
当a≥

1

8

时，△≤0，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）单调递减．…（4分）
当0＜a＜

1

8

时，△＞0，方程2ax²-x+1=0有两个不相等的正根x₁，x₂，
不妨设x₁＜x₂，
则当x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＜0，
当x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＞0，
这时f（x）不是单调函数．
综上，a的取值范围是[

1

8

，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈（0，

1

8

）时，f（x）有极小值点x₁和极大值点x₂，
且x₁+x₂=

1

2a

，x₁x₂=

1

2a

．
f（x₁）+f（x₂）=-lnx₁-ax12+x₁-lnx₂-ax22+x₂
=-（lnx₁+lnx₂）-

1

2

（x₁-1）-

1

2

（x₂-1）+（x₁+x₂）
=-ln（x₁x₂）+

1

2

（x₁+x₂）+1=ln（2a）+

1

4a

+1．…（9分）
令g（a）=ln（2a）+

1

4a

+1，a∈（0，

1

8

]，
则当a∈（0，

1

8

）时，g′（a）=

1

a

-

1

4a2

=

4a-1

4a2

＜0，g（a）在（0，

1

8

）单调递减，
所以g（a）＞g（

1

8

）=3-2ln2，即f（x₁）+f（x₂）＞3-2ln2．…（12分）

点评：本题考查实数取值范围的求法，考查不等式的证明，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的合理运用．