Question

已知函数。

（Ⅰ）设，讨论的单调性；

（Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－,)为减函数；（Ⅱ）a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。

解析:

(Ⅰ)f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞).对f(x)求导数得 f '(x)= e^－ax.  

(ⅰ)当a=2时, f '(x)= e^－2x, f '(x)在(－∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0,

 所以f(x)在(－∞,1), (1,+∞).为增函数.

(ⅱ)当0<a<2时, f '(x)>0, f(x)在(－∞,1), (1,+∞)为增函数.

(ⅲ)当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x₁= － , x₂= .

当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表:

x	(－∞, －)	(－,)	(,1)	(1,+∞)
f '(x)	＋	－	＋	＋
f(x)	↗	↘	↗	↗

f(x)在(－∞, －), (,1), (1,+∞)为增函数,

f(x)在(－,)为减函数.

(Ⅱ)(ⅰ)当0<a≤2时, 由(Ⅰ)知: 对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.

(ⅱ)当a>2时, 取x₀= ∈(0,1),则由(Ⅰ)知 f(x₀)<f(0)=1

(ⅲ)当a≤0时, 对任意x∈(0,1),恒有 >1且e^－ax≥1,得

f(x)= e^－ax≥ >1. 综上当且仅当a∈(－∞,2]时,对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1.