Question

我们可以证明：已知sinθ=t（|t|≤1），则sin

θ

2

至多有4个不同的值．
（1）当t=

3

2

时，写出sin

θ

2

的所有可能值；
（2）设实数t由等式log

1

2

2(t+1)+a•log

1

2

(t+1)+b=0确定，若sin

θ

2

总共有7个不同的值，求常数a、b的取值情况．

Answer 1

（1）由题意得：sinθ=

3

2

?cosθ=±

1

2

，
∴1-2sin²

θ

2

=

1

2

或1-2sin²

θ

2

=-

1

2

，
解得：sin

θ

2

=

3

2

或sin

θ

2

=-

3

2

或sin

θ

2

=

1

2

或sin

θ

2

=-

1

2

；
（2）令u=log

1

2

(t+1)，原方程变为u²+au+b=0，
要使sin

θ

2

有七个不同的值，必须sinθ有两个不同的值，且t₁=0，t₂∈（-1，0）∪（0，1），
从而b=0，a∈（-∞，0）∪（0，1），
此时，u1=log

1

2

(t1+1)=0，u2=log

1

2

(t2+1)∈(-1，0)∪(0，+∞)．